1. 集合的概念以及表示

1.1 集合的概念#

定义$1.1.1$ 一个集合是能作为整体进行论述的事物的集体。又被称为族，类，搜集。

定义$1.1.2$ 组成集合中的每个事物叫做这个集合的元素或者成员。

定义$1.1.3$ 集合元素的个数叫做该集合的基数或者势。集合$A$的势记为$|A|$。基数有限的集合叫做有限集合，否则是无穷集合或者无穷集。

1.2 集合的表示方法#

1.2.1 列举法#

直接枚举:

注意：

1. 元素的位置无关紧要，比如$\{1,2,3\} = \{3,1,2\}$
2. 元素可以重复出现，$\{1,2,3\} = \{1,1,2,2,3,3\}$

1.2.2 描述法#

描述具体性质：

集合的表示也不唯一。

1.3 集合的关系#

没有元素的集合叫做空集$\varnothing$，论述域集合叫做全集$U$​。

空集是唯一的。

1.3.1 集合相等#

定理$1.3.1$ **外延公理: **两个集合相等当且仅当它们拥有相同的成员，即:

1.3.2 集合包含#

对于任何集合$A$:

1.4 罗素悖论#

定义集合:

问$S$是否是$S$本身的元素？

定义$1.4.1$ 如果集合$S$会引起矛盾，则称集合$S$是非良定的。

2. 集合运算#

2.1 基本运算:#

2.1.1 $\cup$#

2.1.2 $\cap$#

2.1.3 $-$​#

2.2 成员并和成员交#

2.2.0 索引集合#

定义$2.2.1$ 若集合$D$中的每一个元素$d$都确定一个集合$A_d$，则称$d$是集合$A_d$的索引，

定义$2.2.2$ 若集合$C = \{A_d|d\in D\}$，则$C$为一个带索引搜集(带索引集合)。$D$称为搜集的索引集合。

2.2.1 成员并#

定义$2.2.3$ 集合$C$的成员并：

$$\mathop{\cup}_{S\in C}S = \{x|\exists S(S\in C \wedge x \in S)\}$$

如果$C$为一个带索引集合，$D$为其索引集合，则:

$$\mathop{\cup}_{S\in C}S = \mathop{\cup}_{d\in D}A_d$$

2.2.2 成员交#

定义$2.2.4$ 集合$C$的成员交:

$$\mathop{\cap}_{S\in C} S = \{x|\forall S(S \in C \to x \in S)\}$$

如果$C$为一个带索引集合，$D$为其索引集合，则:

$$\mathop{\cap}_{S\in C} S = \mathop{\cap}_{d \in D} A_d$$

2.2.3 环和#

2.2.4 环积#

2.2.5 幂集#

定义$2.2.5$ 幂集$\rho(A) = \{B|B\subseteq A\}$

$\varnothing$的的幂集$\rho(\varnothing) = \{\varnothing\}。$

$n$个元素的集合$A$的幂集$\rho(A)$中元素个数为$2^n$。如果集合$A$的元素个数为无限个，那么幂集$\rho(A)$的元素个数也是无限的。

2.2.6 集合基数的运算#